sexta-feira, 8 de junho de 2012

Raízes quadradas contra Portugal

No seu emprego, há uma bolsa de apostas a decorrer. Será que Portugal ganha à Alemanha? Por momentos, esqueça que o empate é possível. Deve apostar contra ou a favor de Portugal?
Admita que x representa o resultado de Portugal e que y capta o resultado da aposta. Vamos partir do pressuposto de que é avesso ao risco. Ou seja, que tem uma função estritamente utilidade côncava.
Sejamos concretos e admitamos que a sua função utilidade é dada por uma raiz quadrada: u(x,y)= √(x+y). Admita ainda que x=0 se Portugal perder, x=10 se Portugal ganhar, y=5 se ganhar a aposta e, finalmente, y=0 se perder a aposta
Para se  fechar o problema, é ainda necessário saber qual a probabilidade que atribui à vitória de Portugal. Suponhamos que essa probabilidade é dada por p.
Com todos estes dados podemos determinar, ex ante, qual a utilidade esperada de apostar em Portugal: p√(10+5)+(1-p)√(0+0).  Ou seja, com probabilidade p, Portugal ganha, e nesse caso x=10 e y=5. Com probabilidade (1-p) perdemos pelo que x=0 e y=0.
Se apostar contra Portugal a utilidade esperada é dada por p√(10+0)+(1-p)√(0+5).  Ou seja, com probabilidade p, Portugal ganha, e nesse caso x=10 e y=0. Com probabilidade (1-p) perdemos pelo que x=0 e y=5.
Deve então apostar na opção que lhe dá mais utilidade, ou seja, deve apostar em Portugal se p√(10+5)+(1-p)√(0+0)> √(10+0)+(1-p)√(0+5).
Fazendo as contas, concluirá que só deve apostar em Portugal se p>0.7588. Ou seja, só se considerar que a probabilidade de Portugal ganhar é superior a 75% é que deve apostar de forma patriótica.
Apostar na Alemanha é como comprar um seguro. Caso Portugal perca, é-se parcialmente compensado pelo desgosto. 

6 comentários:

  1. Essa é um bocadinho falaciosa :)

    Basta-me trocar Portugal pela Alemanha no racional da fórmula e fico com Portugal como seguro de vitória e a Alemanha como aposta da risco :)

    ResponderEliminar
  2. Não percebi. Eu estou a atribuir utilidade pela vitória portuguesa, porque parto do princípio que quem lê este post é apoiante da selecção portuguesa. Se for apoiante da Alemanha, claro que o raciocínio se inverte. Um alemão que faça gestão do risco deve apostar em Portugal (a não ser, claro, que esteja muito segura da sua vitória.

    ResponderEliminar
  3. Mas mesmo eu como apoiante português posso preferir avaliar a utilidade de apostar contra o meu país(apostando pela Alemanha) pelo que iria obter que em termos de gestão de risco seria preferível apostar por Portugal. Creio que neste exemplo não são as raízes quadradas que estão contra Portugal mas sim o postulado do exercício em si.

    ResponderEliminar
  4. Nao percebi. Apoia portugal. Pelo que concorda que a utilidade de portugal ganhar é positiva.
    Como é que é o raciocínio em relação à aposta? (repare que está implícito, mas agora eu explicito, que o retorno financeiro em caso de acerto é o mesmo independentemente da equipa)

    ResponderEliminar
  5. Expliquei-me mal...
    A questão é que um modelo avesso ao risco suportado na raiz quadrada vai sempre premiar a aposta contra o país que apoio(apenas caso eu considerasse que não tinha utilidade nenhuma em ganhar dinheiro(Y win =0) é que obteríamos uma igualdade de satisfação apostasse em quem apostasse)
    E como modelo avesso ao risco que é identifica que devo sempre apostar contra a minha equipa quer eu seja alemão quer seja português o que no jogo portugal alemanha teríamos os apoiantes avessos ao risco sempre a apostar na equipa adversária... Isto para dizer que acabo por concordar com o titulo pois a raiz quadrada está sempre contra os adeptos de futebol avessos ao risco :)

    ResponderEliminar
  6. OK, então, por fim, estamos de acordo.
    Só uma nota para os que não são tão 'geek': Qualquer função utilidade estritamente côncava (ou seja, representando aversão ao risco) dará o mesmos resultados. A raiz quadrada é apenas um exemplo.

    ResponderEliminar

Não são permitidos comentários anónimos.